____年___班 座號_____ 姓名：_____ | 排列組合歷屆題 |
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一、單選題：
( )1. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。
一、國文成績或英文成績70分 ( 含 ) 以上；
二、數學成績及格。
已知小文上學期國文65分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確的？
(A) 小文的英文成績未達70分
(B) 小文的數學成績不及格
(C) 小文的英文成績70分以上但數學成績不及格
(D) 小文的英文成績未達70分且數學成績不及格
(E) 小文的英文成績未達70分或數學成績不及格
答案：E
解析：∵ 國文成績已不符合標準
∴ 若他有資格參選模範生，則必須英文達70分且數學及格，亦即小文的英文成
績未達70分或數學成績不及格皆不符合資格參選模範生
故選(E)
難易度：易
出處：102學測
能力指標：邏輯的笛摩根定律
( )2. 一乒乓球隊有6位選手，其中甲、乙、丙為右手持拍的選手，丁、戊為左手持拍的選手，而己為左右手皆可持拍的選手。現在要派出兩名選手參加雙打，規定由一名可以右手持拍的選手與一名可以左手持拍的選手搭配。請問共有多少種可能的搭配？
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15
答案：C
解析：搭配方式：
甲、乙、丙 配 丁、戊 ：CC＝6
甲、乙、丙 配 己 ：CC＝3
丁、戊 配 己 ：CC＝2
共有11種，故選(C)
難易度：易
出處：101.指考乙
能力指標：簡單組合
( )3. 一個「訊息」是由一串5個數字排列組成，且每位數字都只能是0或1，例如10010與01011就是兩個不同的訊息。兩個訊息的「距離」定義為此兩組數字串相對應位置中，數字不同的位置數。例如，數字串10010與01011在第1，2及5三個位置不同，所以訊息10010 與01011 的距離為3。
試問以下哪些選項是正確的？
(A) 與訊息10010相距最遠的訊息為11101
(B) 任兩訊息之間的最大可能距離是4
(C) 與訊息10010相距為1的訊息恰有5個
(D) 與訊息10010相距為2的訊息恰有9個
答案：C
解析：(A) 與訊息10010相距最遠的訊息為01101
(B) 任兩訊息之間的最大可能距離是5（如(A)之兩訊息）
(C) 與訊息10010相距為1的訊息有C＝5個
（即00010，11010，10110，10000，10011）
(D) 與訊息10010相距為2的訊息有C＝10 (個)
（即01010，00110，00000，00011，11110，11000，11011，10100，10111，10001）
難易度：易
出處：95.指考乙
能力指標：組合數
( )4. 將24顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。
(A) 55 (B) 66 (C) 132 (D) 198 (E) 253
答案：B
解析：設紅、黃、綠三個籃子分別裝x，y，z個，
x＝2x′＋2，y＝2y′＋1，z＝2z′＋1，x′，y′，z′ 為非負整數
Þ ( 2x′＋2 )＋( 2y′＋1 )＋( 2z′＋1 )＝24 Þ x′＋y′＋z′＝10
∴ ( x′ , y′ , z′ ) 有H ＝C＝C＝C＝66 ( 組 )
∴ ( x , y , z ) 亦有66組解
故選(B)
難易度：中
出處：102學測
能力指標：方程式的整數解與不完全相異物的直線排列
( )5. 若數列a1，a2，…，ak，…，a10中每一項皆為1或－1，則a1＋a2＋…＋ak＋…＋a10之值有多少種可能？
(A) 10 (B) 11 (C) P (D) C (E) 210
答案：B
解析： 1 若有10個1，0個－1，則和為10
2 若有9個1，1個－1，則和為8
3 若有8個1，2個－1，則和為6
．,．
11 若有0個1，10個－1，則和為－10
∴ a1＋a2＋…＋ak＋…＋a10共有11種可能
故選(B)
難易度：中
出處：99.學測
能力指標：加法原理
二、多選題：
( )1. 三角形ABC 是一個邊長為3 的正三角形，如附圖所示。若在每一邊的兩個三等分點中，各選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？
(A) 依此方法可能連成的三角形一共有8 個
(B) 這些可能連成的三角形中，恰有2 個是銳角三角形
(C) 這些可能連成的三角形中，恰有3 個是直角三角形
(D) 這些可能連成的三角形中，恰有3 個是鈍角三角形
(E) 這些可能連成的三角形中，恰有1 個是正三角形
答案：AB
解析：如附圖，由六點D、E、F、G、H、I所圍成之形狀為正六邊形
(A) ○：左、右、下各取一點，得C2 1 C21 C21＝8(種)取法
(B) ○：△DHF及△EGI為銳角三角形
(C) ╳：△DIF為以∠D為直角的直角三角形，
同理E、F、G、H、I每一個點皆可找到一個以其為直角頂的
直角三角形：△EIF, △FEH, △GEH, △HGD, △IGD，
共計有 6個
(D) ╳：鈍角三角形不存在
(E) ╳：正三角形有2個，即△DHF及△EGI
故選(A)(B)。
難易度：中
出處：101.學測
( )2. 將 ( x2＋y )12展開集項後，請選出正確的選項。
(A) x24的係數小於x10y7的係數
(B) x12y6的係數小於x10y7的係數
(C) x14y5的係數小於x10y7的係數
(D) x8y8的係數小於x10y7的係數
答案：AD
解析：( x2＋y )12＝C( x2 )12－k y k，
其中x10y7的係數為C，x24的係數為C，
x12y6的係數為C，x14y5的係數為C，
x8y8的係數為C
又C＝1，C＝792＝C，C＝924，C＝495
只有(A)(D)正確，
故選(A)(D)
難易度：中
出處：101.指考乙
能力指標：二項式定理
三、非選題：
1. 如附圖，A城到B城之間有甲、乙、丙、丁、戊五城，其間連結的道路如圖所示。今從A城出發，走向B城，要求每條道路都要經過並且只經過一次，則總共有多少種走法？
答案：6種
解析：如圖abc有3!＝6 ( 種 ) 排列方法，
每一種排列代表A到B的一種走法，
故共有6種走法
難易度：易
出處：96.指考乙
2. 因乾旱水源不足，自來水公司計畫在下週一至週日的7天中選擇2天停止供水。若要求停水的兩天不相連，則自來水公司共有多少種選擇方式？
答案：15種
解析：方法一：兩天相連的選法有6種，
故兩天不相連的選法有C－6＝15 ( 種 )
方法二：從6個△的位置中選2個，
表示選出不相連的兩天停水，
故選法有C＝15 ( 種 )
難易度：中
出處：91.指考乙
3. 某動物園的遊園列車依序編號1到7，共有7節車廂，今想將每節車廂畫上一種動物。如果其中的兩節車廂畫企鵝，另兩節車廂畫無尾熊，剩下的三節車廂畫上貓熊，並且要求最中間的三節車廂必須有企鵝、無尾熊及貓熊，則7節車廂一共有幾種畫法？
答案：72種
解析：3！×＝6×12＝72 ( 種 )
難易度：中
出處：98.指考乙
四、填充題：
1. 如附圖，A城到B城之間有甲、乙、丙、丁、戊五城，其間連結的道路如圖所示。今從A城出發走向B城，要求每條道路都要經過並且只經過一次，則總共有 種走法。
答案：6
解析：本題即為附圖由A至B一筆畫的問題，
考慮a，b，c三路徑的排列數3！＝6，即為解答
難易度：中
出處：96.指考乙
能力指標：排列、一筆畫
2. 新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該鞋店共有八款鞋可供選擇，其價格如下：
答案：21
解析：顧客選己，庚，辛之一時，可贈送甲，乙，丙，丁，戊之一
∴有3×5＝15種配法。
顧客選丙，丁，戊之一時，可贈送甲，乙之一
∴有3×2＝6種配法
∴共有15＋6＝21種搭配方法，故填21
難易度：中
出處：95.學測
能力指標：計數原理之應用
3. 棒球比賽每隊的先發守備位置有九個：投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、游擊手、右外野、中外野、左外野各一位。某一棒球隊有18位可以先發的球員，由教練團認定可擔任的守備位置球員數情形如下：
(一) 投手4位、捕手2位、一壘手1位、二壘手2位、三壘手2位、游擊手2位；
(二) 外野手4位 ( 每一位外野手都可擔任右外野、中外野或左外野的守備 )；
(三) 另外1位是全隊人氣最旺的明星球員，他可擔任一壘手與右外野的守備。
已知開幕戰的比賽，確定由某位投手先發，而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定，並由人氣最旺的明星球員擔任一壘手守備，其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排，則此場開幕戰共有 種先發守備陣容。( 當九個守備位置只要有一個球員不同時，就視為不同的守備陣容 )
答案：192
解析：1 投手、捕手、一壘手已經確定
2 二壘手、三壘手、游擊手各2位，選法有2×2×2＝8(種)。
3 外野手4位，從中選3位排列，選法有4×3×2＝24(種)。
由123，先發守備陣容共有8×24=192(種)。
難易度：中
出處：99.指考乙
能力指標：乘法原理
4. 有一個兩列三行的表格如右圖。在六個空格中分別填入數字1、2、3、4、5、6（不得重複），則1、2這兩個數字在同一行或同一列的方法有 種。
答案：432
解析：(1) 1，2在同一行 Þ C×2！×4！＝3×2×24＝144
(2) 1，2在同一列 Þ C×P×4！＝2×6×24＝288
由(1)(2)得共有144＋288＝432 (種)
難易度：中
出處：99.學測
能力指標：分類討論與組合的計算
5. 袋中有七個白球，若干個黑球。今從袋中一次取出兩個球，已知此兩球同為白球的機率是，則袋中有______個黑球。
答案：5個
解析：設黑球有x個，則＝⇒＝
Þ ( x＋7 ) ( x＋6 )＝132 Þ x2＋13x－90＝0
Þ ( x＋18 ) ( x－5 )＝0 ∴ x＝5或－18 (不合) ∴ 黑球有5個
難易度：易
出處：91.指考甲
能力指標：機率的應用
6. 啦啦隊競賽規定每隊8人，且每隊男、女生均至少要有2人。某班共有4名男生及7名女生想參加啦啦隊競賽。若由此11人中依規定選出8人組隊，則共有______種不同的組隊方法。
答案：161
解析：可能情形為4男4女，3男5女，2男6女
∴方法有CC＋CC＋CC＝35＋84＋42＝161（種）
難易度：易
出處：93.指考乙
能力指標：排列組合
7. 在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過6次跳動後運動物體落在點＋4處，則此運動物體共有________種不同的跳動方法。
答案：6
解析：經過6次跳動後，運動物體落在＋4處Û跳動5次＋1，1次－1。
故共有＝6(種)不同的跳動方法。
難易度：易
出處：94.學測
能力指標：排列組合基本問題
8. 從玫瑰、菊花、杜鵑、蘭花、山茶、水仙、繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成一列，其中杜鵑及山茶都被選到，且此兩盆花位置相鄰的排法有 種。
答案：120
解析：將杜鵑和山茶花除外的五盆花取2盆，再將4盆依題意排列
∴ C×3！×2！＝10×6×2＝120
難易度：易
出處：102指考乙
能力指標：排列組合
9. 如附圖，A城到B城之間有甲、乙、丙、丁、戊五城，其間連結的道路如附圖所示。今從A城出發走向B城，要求每條道路都要經過並且只經過一次，則總共有 種走法。
答案：6
解析：本題即為附圖由A至B一筆畫的問題，
考慮a，b，c三路徑的排列數3！＝6，即為解答。
難易度：易
出處：96.指考乙
能力指標：排列、一筆畫
10. 在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳一個單位，跳動過程可重覆經過任何一點，若經過8次跳動後運動物體落在點＋4處，則此運動體共有______種不同的跳動方法。
答案：28
解析：設向右x次，向左( 8－x )次 ∴ x＋( 8－x )．(－1 )＝4 Þ x＝6
即向右6次，向左2次 ∴ ＝28（種）
難易度：易
出處：仿94.學測
能力指標：相同物件的排列
11. 籃球3人鬥牛賽，共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬9人參加，組成3隊，且甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種？答： 種。
答案：210
解析：由於甲、乙不可在同一隊，可先將甲、乙各安排
在兩個不同的隊中，
則該二隊只需再各安排2人，所餘3人則安排在第三隊，
因此組隊的方法有CCC＝210種。
難易度：中
出處：90.學測
能力指標：運用排列組合的方法
12. 某地共有9個電視頻道，將其分配給3個新聞台、4個綜藝台及2個體育台共三種類型。若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道的分配方式共有 種。
答案：576
解析：體育台，新聞台，綜藝台在體育台排在前面的情況下有排法2！＝2種
∴共有2！×2！×3！×4！＝576種排法，
故填576
難易度：中
出處：95.學測
能力指標：組合之計算
13. 某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色，球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子。而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子，至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有 種不同款式的「阿民」公仔。
答案：96
解析：(1) 藍色的球帽必須搭配白色的球衣：1×1×3＝3（種）
(2) 紅色的球帽不搭配灰色的球鞋：4×2×3－1×2×1＝22（種）
所以共有3＋22＝25（種）款式
難易度：中
出處：96.學測
14. 某動物園的遊園列車依序編號1到7，共有7節車廂，今想將每節車廂畫上一種動物。如果其中的兩節車廂畫企鵝，另兩節車廂畫無尾熊，剩下的三節車廂畫上貓熊，並且要求最中間的三節車廂必須有企鵝、無尾熊及貓熊，則7節車廂一共有______種畫法
答案：72
解析：3！×＝6×12＝72 ( 種 )
難易度：中
出處：98.指考乙
15. 1115除以100的餘數為______。
答案：51
解析：1115＝（1＋10）15＝1＋C×10＋C×102＋C×103＋…＋C×1015
＝151＋100 ×（C＋C×10＋…＋C× 1013）
＝100×（1＋C＋C×10＋…＋C×1013）＋51
⇒1115除以100餘51
難易度：易
出處：91.學測補考
能力指標：二項式定理的應用
